피타고라스 정리

유클리드 기하학에서, c가 빗변인 직각삼각형에 대하여 다음이 성립한다.



이를 피타고라스 정리(Pythagoras' theorem)라고 한다. 역 또한 성립한다.⁽¹⁾ 현재 약 370개의 증명이 알려져 있다.

피타고라스가 이를 발견하고 너무 기뻐서 신에게 제사까지 지냈다. 그런데 이 때문에 무리수가 존재한다는 것이 밝혀져,⁽²⁾ 세상은 자연수(유리수)만으로 표현 가능하다고 믿었던 거의 신앙 단체인 피타고라스 학파는 혼란에 빠졌다. 그래서 무리수의 존재를 세상에 알리려 한 히파수스라는 제자가 수장당했다는 얘기가 있다.

벡터의 크기, 히포크라테스 원, 코사인 법칙, 원의 방정식 등 쓰임새가 무궁무진하다. 그 중에서도 가장 자주 쓰이는 것 중 하나가 두 점 사이의 거리를 구하는 것이다. 두 점 사이의 x좌표, y좌표 차가 각각 x, y일 때 거리는 \sqrt{x^2+y^2}이다. 중학교 2학년 수학에서 무리수를 배우기도 전에 피타고라스 정리가 나온다.

자연수 a,b,c가 피타고라스 정리 a^2+b^2=c^2를 만족할 때, 이 세 자연수의 순서쌍 (a,b,c)를 피타고라스 세 쌍(Pythagorean triple)이라 한다.

대표적인 예로는 다음과 같은 세 쌍들이 있다.



이들 세 쌍은 모두 서로소인 a,b,c로 이루어져 있으며, 이를 기본 피타고라스 세 쌍이라 한다.
기본 피타고라스 세 쌍의 모든 배수 역시 피타고라스 세 쌍이 된다.

또한, 서로소인 자연수 m>n에 대하여 다음과 같이 정의하면 항상 피타고라스 세 쌍이 된다.



이 방법을 통해 모든 기본 피타고라스 세 쌍을 생성할 수 있다.